マンデルブロー集合はいくら拡大しても、次々に複雑な模様が現れてくるフラクタル図形です。拡大した部分をよく見ると、相似形の模様（自己相似図形）が多数あることが分かります。この図形は次の複素数式によって作成することができます。
 

　この反復式でＺの初期値を０、Ｃを定数として繰り返し計算すれば、ＺはＣの値によって、０に近づいたり、無限に大きくなったりします。

　そこで Ｃ（＝Ｘ＋Ｙｉ）の実部（Ｘ）と虚部（Ｙ）を平面座標の横・縦軸にとり、ＸとＹを連続的に変化させて繰り返し計算し、Ｚの絶対値が２より大きくなる計算回数（２より大きくなった場合には発散する）に応じて色分けすれば、このような図形が作成されます。
　無限に演算することはできませんので、繰り返し演算の最大回数をあらかじめ決めておくことにより、それ以下で｜Ｚ｜が２より大きくならない点は黒に塗ります。したがって、繰り返し演算の最大回数を大きくすれば、より微細な色分けができますが、それにともなって計算時間が長くなります。

　ここに示した図はすべて、栗山 富明 氏の作成されたフリーウェア「フラク太郎」によって作成したものです。このように美しいマンデルブロ集合図を作成するプログラムを開発された栗山氏に、心より感謝します。